આપેલ ક્રિયાના સંદર્ભમાં નીચેનામાંથી કયું જૂથ (group) નથી?

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે? શું $^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે? શું $N$ પર આ દ્વિ-ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે?

ગણ $R - \{-1\}$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીક્રીયા $^*$ માટે,જ્યાં $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ છે,તે ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો.

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a ^* b = a$ અને $b$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $N$ ના કયા ઘટકો $^*$ ક્રિયા માટે વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે શોધો.

એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,ધારો કે $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે ખાલી ગણ $\Phi$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $P(X)$ ના તમામ ઘટકો $A$ એ $A^{-1} = A$ સાથે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = a$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.