એક અરિક્ત ગણ $X$ આપેલ છે,ધારો કે $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે ખાલી ગણ $\Phi$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે અને $P(X)$ ના તમામ ઘટકો $A$ એ $A^{-1} = A$ સાથે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.

(A) આપેલ છે કે $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ એ $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $A, B \in P(X)$.
$1$. તટસ્થ ઘટક:
કોઈપણ $A \in P(X)$ માટે,આપણી પાસે છે:
$A \,^*\, \Phi = (A - \Phi) \cup (\Phi - A) = A \cup \Phi = A$
$\Phi \,^*\, A = (\Phi - A) \cup (A - \Phi) = \Phi \cup A = A$
કારણ કે $A \,^*\, \Phi = A = \Phi \,^*\, A$ તમામ $A \in P(X)$ માટે સાચું છે,તેથી ખાલી ગણ $\Phi$ એ ક્રિયા $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક છે.
$2$. વ્યસ્ત સંપન્ન ઘટકો:
$P(X)$ નો ઘટક $A$ વ્યસ્ત સંપન્ન કહેવાય જો કોઈ $B \in P(X)$ એવું મળે કે જેથી $A \,^*\, B = \Phi = B \,^*\, A$,જ્યાં $\Phi$ એ તટસ્થ ઘટક છે.
$A \,^*\, A$ માટે વિચારીએ:
$A \,^*\, A = (A - A) \cup (A - A) = \Phi \cup \Phi = \Phi$
કારણ કે $A \,^*\, A = \Phi$,તેથી દરેક ઘટક $A \in P(X)$ એ પોતાનો જ વ્યસ્ત છે.
આમ,$P(X)$ ના તમામ ઘટકો $A$ એ $A^{-1} = A$ સાથે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.