मान लीजिए $P=\begin{bmatrix} -30 & 20 & 56 \\ 90 & 140 & 112 \\ 120 & 60 & 14 \end{bmatrix}$ और $A=\begin{bmatrix} 2 & 7 & \omega^{2} \\ -1 & -\omega & 1 \\ 0 & -\omega & -\omega+1 \end{bmatrix}$,जहाँ $\omega=\frac{-1+ i \sqrt{3}}{2}$,और $I_{3}$ कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है। यदि आव्यूह $(P^{-1}AP - I_{3})^{2}$ का सारणिक $\alpha \omega^{2}$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है, जहाँ $A \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ और $A \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $\det(A) = 1$ है और आव्यूह $A$ समीकरण $A \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करता है, तो $\det(\text{adj}(A^2 + A))$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$ है,तो $\lambda$ और $\frac{\lambda}{3}$ किस समीकरण के मूल हैं?

मान लीजिए $A=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P=\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}, \theta > 0$ है। यदि $B=P A P^T$,$C=P^T B^{10} P$ है और $C$ के विकर्ण तत्वों का योग $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m+n$ का मान है:

मान लीजिए कि $A$ एक ऐसा वर्ग आव्यूह है कि $AA^T = I$ है। तो $\frac{1}{2} A[(A+A^T)^2 + (A-A^T)^2]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके अवयव $\{-1000, -999, \ldots, 999, 1000\}$ समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुने गए हैं। मान लीजिए $P$ वह प्रायिकता है कि या तो $A^2 = -I$ है या $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह है। तो,