यदि $\begin{vmatrix} x+1 & x & x \\ x & x+\lambda & x \\ x & x & x+\lambda^2 \end{vmatrix} = \frac{9}{8}(103x+81)$ है,तो $\lambda$ और $\frac{\lambda}{3}$ किस समीकरण के मूल हैं?

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{10}$ एक $G.P.$ में हैं जहाँ $i = 1, 2, \dots, 10$ के लिए $a_i > 0$ है और $S$ उन युग्मों $(r, k)$ का समुच्चय है,$r, k \in N$ (प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय) जिनके लिए
$\left| \begin{array}{ccc} \log_e(a_1^r a_2^k) & \log_e(a_2^r a_3^k) & \log_e(a_3^r a_4^k) \\ \log_e(a_4^r a_5^k) & \log_e(a_5^r a_6^k) & \log_e(a_6^r a_7^k) \\ \log_e(a_7^r a_8^k) & \log_e(a_8^r a_9^k) & \log_e(a_9^r a_{10}^k) \end{array} \right| = 0$
तो $S$ में अवयवों की संख्या है:

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ और $A^3 = (aA - I)(bA - I)$,जहाँ $a, b$ पूर्णांक हैं और $I$ एक $3 \times 3$ इकाई आव्यूह है,तो $(a + b)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\omega \neq 1$ इकाई का एक घनमूल है और $S$,$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ \omega & 1 & c \\ \omega^2 & \omega & 1 \end{bmatrix}$ के रूप वाले सभी व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समुच्चय है,जहाँ $a$,$b$ और $c$ में से प्रत्येक $\omega$ या $\omega^2$ है,तो समुच्चय $S$ में भिन्न आव्यूहों की संख्या है

मान लीजिए कि $A$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक तत्वों का एक $3 \times 3$ आव्यूह है,इस प्रकार कि $A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$। तो $\operatorname{det}(A)$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रम $3 \times 3$ के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं। यदि $\det(ABA^T) = 8$ और $\det(AB^{-1}) = 8$ है,तो $\det(BA^{-1}B^T)$ का मान ज्ञात कीजिए।