मान लीजिए कि alpha, alpha^2 समीकरण x^2 + x + | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।चूंकि $\alpha$ और $\alpha^2$ मूल हैं,हम जानते हैं कि $\alpha + \alpha^2 = -1$ और $\alpha^3 = 1$ है।हमें वह सम

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$x^2 + x + 1 = 0$

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(C) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।चूंकि $\alpha$ और $\alpha^2$ मूल हैं,हम जानते हैं कि $\alpha + \alpha^2 = -1$ और $\alpha^3 = 1$ है।हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{31}$ और $\alpha^{62}$ हैं।मूलों का योग: $\alpha^{31} + \alpha^{62} = \alpha^{31}(1 + \alpha^{31}) = (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha (1 + (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha) = \alpha(1 + \alpha) = \alpha + \alpha^2 = -1$ है।मूलों का गुणनफल: $\alpha^{31} \cdot \alpha^{62} = \alpha^{93} = (\alpha^3)^{31} = 1^{31} = 1$ है।अपेक्षित द्विघात समीकरण $x^2 - (	ext{मूलों का योग})x + (	ext{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।मान रखने पर: $x^2 - (-1)x + 1 = 0$,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ हो जाता है।वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\alpha$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल $\omega$ है,इसलिए $\alpha^{31} = \omega^{31} = \omega$ और $\alpha^{62} = \omega^{62} = \omega^2$ है। अतः $\omega$ और $\omega^2$ मूलों वाला समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।

मान लीजिए कि $\alpha, \alpha^2$ समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल हैं,तो वह समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $\alpha^{31}, \alpha^{62}$ हैं।

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