मान लीजिए p, q और r वास्तविक संख्याएँ हैं (p | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+p} + \frac{1}{x+q} = \frac{1}{r}$बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x+q+x+p}{(x+p)(x+q)} = \frac{1}{r}$$\frac{2x+p+q}{x

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$p^2 + q^2$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{1}{x+p} + \frac{1}{x+q} = \frac{1}{r}$बाएँ पक्ष को सरल करने पर: $\frac{x+q+x+p}{(x+p)(x+q)} = \frac{1}{r}$$\frac{2x+p+q}{x^2+(p+q)x+pq} = \frac{1}{r}$तिर्यक गुणा करने पर: $r(2x+p+q) = x^2+(p+q)x+pq$मानक द्विघात रूप $ax^2+bx+c=0$ में व्यवस्थित करने पर:$x^2 + (p+q-2r)x + (pq-pr-qr) = 0$मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। चूँकि मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं,$\alpha = -\beta$,जिसका अर्थ है कि $\alpha + \beta = 0$.मूलों के योग के सूत्र से,$\alpha + \beta = -(p+q-2r)$.इसे शून्य के बराबर रखने पर: $p+q-2r = 0$,अतः $p+q = 2r$.हमें मूलों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2$ ज्ञात करना है।$\alpha = -\beta$ होने के कारण,$\alpha^2 + \beta^2 = \alpha^2 + (-\alpha)^2 = 2\alpha^2$.साथ ही,$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$.चूँकि $\alpha+\beta = 0$,वर्गों का योग $-2\alpha\beta$ होगा।मूलों के गुणनफल के सूत्र से,$\alpha\beta = pq-pr-qr$.अतः,$\alpha^2 + \beta^2 = -2(pq - pr - qr) = -2pq + 2pr + 2qr$.चूँकि $2r = p+q$,$2pr+2qr = 2r(p+q) = (p+q)(p+q) = (p+q)^2$ प्रतिस्थापित करने पर।इस प्रकार,$\alpha^2 + \beta^2 = -2pq + (p+q)^2 = -2pq + p^2 + q^2 + 2pq = p^2 + q^2$.

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