मान लीजिए कि A श्रेणी 1^2 + 2 cdot 2^2 + 3^2 | vedclass

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Question

(A) श्रेणी $a_n = n^2$ यदि $n$ विषम है,और $a_n = 2n^2$ यदि $n$ सम है।$A = \sum_{n=1}^{20} a_n = (1^2 + 3^2 + \dots + 19^2) + 2(2^2 + 4^2 + \dots + 20^

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$248$

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(A) श्रेणी $a_n = n^2$ यदि $n$ विषम है,और $a_n = 2n^2$ यदि $n$ सम है।$A = \sum_{n=1}^{20} a_n = (1^2 + 3^2 + \dots + 19^2) + 2(2^2 + 4^2 + \dots + 20^2)$.$B = \sum_{n=1}^{40} a_n = (1^2 + 3^2 + \dots + 39^2) + 2(2^2 + 4^2 + \dots + 40^2)$.$B - 2A = \sum_{n=1}^{40} a_n - 2\sum_{n=1}^{20} a_n$.इसे $\sum_{n=21}^{40} a_n - \sum_{n=1}^{20} a_n$ के रूप में लिखा जा सकता है।विषम $n$ के लिए,$a_n = n^2$. सम $n$ के लिए,$a_n = 2n^2$.$B - 2A = \sum_{k=11}^{20} (2k-1)^2 + \sum_{k=11}^{20} 2(2k)^2 - \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2 - \sum_{k=1}^{10} 2(2k)^2$.$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$B - 2A = \sum_{k=1}^{10} [(2k+19)^2 - (2k-1)^2] + \sum_{k=1}^{10} 2[(2k+20)^2 - (2k)^2]$.$= \sum_{k=1}^{10} (20)(4k+18) + \sum_{k=1}^{10} 2(20)(4k+20) = 20 \sum_{k=1}^{10} (4k+18 + 8k+40) = 20 \sum_{k=1}^{10} (12k+58)$.$= 20 [12 \cdot \frac{10 \cdot 11}{2} + 580] = 20 [660 + 580] = 20 [1240] = 24800$.चूंकि $B - 2A = 100\lambda$,इसलिए $100\lambda = 24800$,अतः $\lambda = 248$.

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