मान लीजिए कि $x$ और $y$ क्रमशः परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ हैं। क्या $x+y$ अनिवार्य रूप से एक अपरिमेय संख्या है? अपने उत्तर के समर्थन में एक उदाहरण दीजिए।

(A) हाँ,$x+y$ अनिवार्य रूप से एक अपरिमेय संख्या है।
विरोधोक्ति द्वारा प्रमाण (Proof by contradiction):
मान लीजिए कि $x+y = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
चूँकि $x$ एक परिमेय संख्या है,हम $y = r - x$ लिख सकते हैं।
चूँकि दो परिमेय संख्याओं ($r$ और $x$) का अंतर हमेशा एक परिमेय संख्या होता है,इसलिए $y$ को भी एक परिमेय संख्या होना चाहिए।
हालाँकि,यह दी गई जानकारी का खंडन करता है कि $y$ एक अपरिमेय संख्या है।
इसलिए,हमारी धारणा गलत है और $x+y$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।
उदाहरण:
मान लीजिए $x = 5$ (परिमेय) और $y = \sqrt{2}$ (अपरिमेय)।
तब,$x+y = 5 + \sqrt{2} = 6.4142...$,जो एक अनवसानी अनावर्ती (non-terminating and non-repeating) दशमलव है।
अतः,$x+y$ एक अपरिमेय संख्या है।