मान लीजिए f: R rightarrow R,f(x)=e^{-x} sin x | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = e^{-x} \sin x$। चूँकि $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x)$ है। हमें $I = \int_{0}^{1} (

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$[\frac{330}{360}, \frac{331}{360}]$

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(B) दिया गया है $f(x) = e^{-x} \sin x$। चूँकि $F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$,कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = f(x)$ है। हमें $I = \int_{0}^{1} (F'(x) + f(x)) e^{x} dx$ का मान ज्ञात करना है। $F'(x) = f(x)$ प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int_{0}^{1} (f(x) + f(x)) e^{x} dx = \int_{0}^{1} 2f(x) e^{x} dx$ प्राप्त होता है। $f(x) = e^{-x} \sin x$ रखने पर,$I = 2 \int_{0}^{1} e^{-x} \sin x \cdot e^{x} dx = 2 \int_{0}^{1} \sin x dx$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$I = 2 [-\cos x]_{0}^{1} = 2(1 - \cos 1)$ प्राप्त होता है। $\cos x$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर,$\cos 1 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + \dots$ होता है। अतः,$I = 2(1 - (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{24} - \frac{1}{720} + \dots)) = 2(\frac{1}{2} - \frac{1}{24} + \frac{1}{720} - \dots) = 1 - \frac{1}{12} + \frac{1}{360} - \dots$ प्राप्त होता है। $I = \frac{11}{12} + \frac{1}{360} - \dots = \frac{330}{360} + \frac{1}{360} - \dots = \frac{331}{360} - \dots$ होता है। चूँकि यह श्रेणी एकांतर और घटती हुई है,इसलिए इसका मान $[\frac{330}{360}, \frac{331}{360}]$ अंतराल में स्थित है।

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