मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}=(y+ | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $Y = y+1$. तब $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.यह एक बर्नौली अवक

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$\frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$

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(A) मान लीजिए $Y = y+1$. तब $\frac{dY}{dx} = \frac{dy}{dx}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dY}{dx} = Y^{2}e^{x^{2}/2} - xY$.यह एक बर्नौली अवकल समीकरण है। $Y^{2}$ से विभाजित करने पर: $Y^{-2}\frac{dY}{dx} + xY^{-1} = e^{x^{2}/2}$.मान लीजिए $v = Y^{-1} = \frac{1}{y+1}$. तब $\frac{dv}{dx} = -Y^{-2}\frac{dY}{dx}$,जिससे $-\frac{dv}{dx} + xv = e^{x^{2}/2}$,या $\frac{dv}{dx} - xv = -e^{x^{2}/2}$.समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -x dx} = e^{-x^{2}/2}$ है।$I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx}(v e^{-x^{2}/2}) = -1$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $v e^{-x^{2}/2} = -x + C$,इसलिए $v = (-x+C)e^{x^{2}/2}$.चूंकि $v = \frac{1}{y+1}$,हमारे पास $y+1 = \frac{1}{(-x+C)e^{x^{2}/2}}$ है।$y(2)=0$ दिया गया है,इसलिए $1 = \frac{1}{(-2+C)e^{2}}$,जिसका अर्थ है $-2+C = e^{-2}$,यानी $C = 2+e^{-2}$.अतः,$y+1 = \frac{1}{(-x+2+e^{-2})e^{x^{2}/2}}$.$x=1$ पर,$y+1 = \frac{1}{(-1+2+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{1}{(1+e^{-2})e^{1/2}} = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$.मूल समीकरण से,$y'(1) = (y(1)+1)((y(1)+1)e^{1/2}-1)$.$y(1)+1 = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1}$ रखने पर: $y'(1) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \cdot e^{1/2} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{e^{2}}{e^{2}+1} - 1 \right) = \frac{e^{3/2}}{e^{2}+1} \left( \frac{-1}{e^{2}+1} \right) = \frac{-e^{3/2}}{(e^{2}+1)^{2}}$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=(y+1)((y+1)e^{x^{2}/2}-x)$ का हल है,जहाँ $y(2)=0$ है। तो $y'(1)$ का मान . . . . है।

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