मान लीजिए कि y(x) अवकल समीकरण 2 x^{2} dy + (e | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow

Vedclass · Accepted Answer

$\log_{e} 2$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$.$2 x^{2} dx$ से भाग देने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{e^{y} - 2x}{2 x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} + \frac{e^{y}}{2 x^{2}} - \frac{1}{x} = 0$.पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} = -\frac{e^{y}}{2 x^{2}} \Rightarrow e^{-y} \frac{dy}{dx} - \frac{e^{-y}}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}}$.मान लीजिए $z = e^{-y}$,तो $\frac{dz}{dx} = -e^{-y} \frac{dy}{dx}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dz}{dx} - \frac{z}{x} = -\frac{1}{2 x^{2}} \Rightarrow \frac{dz}{dx} + \frac{z}{x} = \frac{1}{2 x^{2}}$.यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जिसका समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log_{e} x} = x$ है।हल: $z \cdot x = \int x \cdot \frac{1}{2 x^{2}} dx + C = \int \frac{1}{2x} dx + C = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.चूंकि $z = e^{-y}$,इसलिए $x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + C$.$y(e) = 1$ दिया गया है,इसलिए $x = e$ और $y = 1$ रखने पर: $e \cdot e^{-1} = \frac{1}{2} \log_{e} e + C \Rightarrow 1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.अतः,$x e^{-y} = \frac{1}{2} \log_{e} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{e} (ex)$.$y(1)$ ज्ञात करने के लिए,$x = 1$ रखने पर: $1 \cdot e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \log_{e} (e \cdot 1) = \frac{1}{2} \log_{e} e = \frac{1}{2}$.$e^{-y(1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow e^{y(1)} = 2 \Rightarrow y(1) = \log_{e} 2$.

मान लीजिए कि $y(x)$ अवकल समीकरण $2 x^{2} dy + (e^{y} - 2x) dx = 0$,$x > 0$ का हल है। यदि $y(e) = 1$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

Similar Questions

मान लीजिए $f(x)=x-1$ और $g(x)=e^x$ जहाँ $x \in R$ है। यदि $\frac{d y}{d x}=\left(e^{-2 \sqrt{x}} g(f(f(x)))-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)$ और $y(0)=0$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ का हल है। यदि $y(1) = 1$ है, तो $y(\sqrt{5})$ से छोटा महत्तम पूर्णांक . . . . . . है।

अवकल समीकरण $(1 - x^2)\frac{dy}{dx} - xy = 1$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module