मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण (x^2 - xsqrt{x | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy = (x - y(x - \sqrt{x^2-1}))dx$ है।पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{x - \sqrt{x^2-

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$3$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy = (x - y(x - \sqrt{x^2-1}))dx$ है।पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{x - \sqrt{x^2-1}}{x(x - \sqrt{x^2-1})}y = \frac{x}{x(x - \sqrt{x^2-1})}$ प्राप्त होता है।यह सरल होकर $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x - \sqrt{x^2-1}}$ हो जाता है।$x + \sqrt{x^2-1}$ से गुणा करने पर, $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = x + \sqrt{x^2-1}$ प्राप्त होता है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ है।हल $y \cdot x = \int x(x + \sqrt{x^2-1}) dx = \int (x^2 + x\sqrt{x^2-1}) dx$ है।$xy = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3}(x^2-1)^{3/2} + C$.चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है, $1(1) = \frac{1}{3} + 0 + C$, इसलिए $C = \frac{2}{3}$।अतः, $y = \frac{x^2}{3} + \frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x} + \frac{2}{3x}$।$x = \sqrt{5}$ के लिए, $y(\sqrt{5}) = \frac{5}{3} + \frac{8}{3\sqrt{5}} + \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{5 + 2\sqrt{5}}{3} \approx 3.157$।$3.157$ से छोटा महत्तम पूर्णांक $3$ है।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ का हल है। यदि $y(1) = 1$ है, तो $y(\sqrt{5})$ से छोटा महत्तम पूर्णांक . . . . . . है।

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