माना n in N और [x],x से कम या उसके बराबर महत् | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।योग $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ द्

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$98$

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(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_{r+1} = (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ है,जहाँ $r = 0, 1, 2, \ldots, n$ है।योग $S = \sum_{r=0}^{n} (2r+1) \cdot {}^{n}C_{r}$ द्वारा दिया गया है।$S = 2 \sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} + \sum_{r=0}^{n} {}^{n}C_{r}$।सर्वसमिकाओं $\sum r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum {}^{n}C_{r} = 2^{n}$ का उपयोग करने पर:$S = 2(n \cdot 2^{n-1}) + 2^{n} = n \cdot 2^{n} + 2^{n} = 2^{n}(n+1)$।दिया गया है $S = 2^{100} \cdot 101$,इसलिए $2^{n}(n+1) = 2^{100} \cdot 101$,जिसका अर्थ है $n = 100$।अब,$2\left[\frac{n-1}{2}\right] = 2\left[\frac{100-1}{2}\right] = 2\left[\frac{99}{2}\right] = 2[49.5] = 2 \cdot 49 = 98$।

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