मान लीजिए S वक्रों y=x^{3} और y^{2}=x द्वारा | vedclass

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Question

(B) क्षेत्र $S$,प्रथम चतुर्थांश में $y=x^{3}$ और $y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।कुल क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है

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$19$

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(B) क्षेत्र $S$,प्रथम चतुर्थांश में $y=x^{3}$ और $y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।कुल क्षेत्रफल $S$ इस प्रकार है:$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{3}) dx$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^{4}}{4} ight]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$.वक्र $y=2x$ (जहाँ $x>0$),$y^{2}=x$ को $4x^{2}=x$ पर काटता है,इसलिए $x=1/4$ (चूंकि $x 
eq 0$ है)।क्षेत्रफल $R_{1}$,$x=0$ से $x=1/4$ तक $y=\sqrt{x}$ और $y=2x$ द्वारा घिरा हुआ है:$R_{1} = \int_{0}^{1/4} (\sqrt{x} - 2x) dx$$= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - x^{2} ight]_{0}^{1/4} = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) - \frac{1}{16} = \frac{1}{12} - \frac{1}{16} = \frac{4-3}{48} = \frac{1}{48}$.चूंकि $S = R_{1} + R_{2}$,इसलिए $R_{2} = S - R_{1} = \frac{5}{12} - \frac{1}{48} = \frac{20-1}{48} = \frac{19}{48}$.अतः,$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{19/48}{1/48} = 19$.

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