मान लीजिए f(x) एक बहुपद फलन है जैसे कि f(x)+f | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$. चूंकि सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ मौजूद है,इसलिए $f(1)=0$ होना

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$-15$

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(A) दिया गया है $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$. चूंकि सीमा $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ मौजूद है,इसलिए $f(1)=0$ होना चाहिए। यदि $f(1)=0$ है,तो सीमा का मान $f^{\prime}(1)$ के बराबर है। दिए गए समीकरण में $x=1$ रखने पर: $f(1)+f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 1^{5}+64 = 65$. चूंकि $f(1)=0$,इसलिए $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$. दिए गए समीकरण का अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x) = 5x^{4}$. $x=1$ पर,$f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$. चूंकि $f^{\prime}(1)+f^{\prime \prime}(1) = 65$,इसलिए $65+f^{\prime \prime \prime}(1) = 5$,जिससे $f^{\prime \prime \prime}(1) = -60$ प्राप्त होता है। पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x) = 20x^{3}$. $x=1$ पर,$f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$. पुनः अवकलन करने पर: $f^{\prime \prime \prime}(x)+f^{(4)}(x)+f^{(5)}(x) = 60x^{2}$. $x=1$ पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+f^{(5)}(1) = 60$. चूंकि $f(x)$ $5$ घात का बहुपद है,मान लीजिए $f(x) = ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+g$. तब $f^{(5)}(x) = 120a$. समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$ से,मुख्य गुणांक $a=1$. अतः $f^{(5)}(x) = 120$. $f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1)+120 = 60$ का उपयोग करने पर,$f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = -60$. $f^{\prime \prime}(1)+f^{\prime \prime \prime}(1)+f^{(4)}(1) = 20$ से,$f^{\prime \prime}(1) + (-60) = 20$,जिससे $f^{\prime \prime}(1) = 80$ प्राप्त होता है। अंत में,$f^{\prime}(1) = 65 - f^{\prime \prime}(1) = 65 - 80 = -15$.

मान लीजिए $f(x)$ एक बहुपद फलन है जैसे कि $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=x^{5}+64$. तो,$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{x-1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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