मान लीजिए S = (0, 2 pi) - left{frac{pi}{2}, f | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)^2} = \

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$42$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \sin 2x}$ है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int dy = \int \frac{dx}{(\sin x + \cos x)^2} = \int \frac{\sec^2 x}{(1 + 	an x)^2} dx$.मान लीजिए $u = 1 + 	an x$,तो $du = \sec^2 x dx$.अतः,$y = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{1 + 	an x} + C$.प्रतिबंध $y\left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{2} = -\frac{1}{1 + 1} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$.इस प्रकार,$y(x) = 1 - \frac{1}{1 + 	an x} = \frac{	an x}{1 + 	an x}$.अब,$y(x)$ को $y = \sqrt{2} \sin x$ के साथ बराबर रखने पर: $\frac{	an x}{1 + 	an x} = \sqrt{2} \sin x$.$\frac{\sin x}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \sin x$.इससे $\sin x = 0$ (अतः $(0, 2\pi)$ में $x = \pi$) या $\frac{1}{\cos x + \sin x} = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x + \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sin\left(x + \frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{2}$.$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ या $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi$.$x \in (0, 2\pi)$ के लिए,$x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$ या $x + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{6}$.$x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$ और $x = \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{23\pi}{12}$.भुजों का योग $= \pi + \frac{7\pi}{12} + \frac{23\pi}{12} = \frac{12\pi + 7\pi + 23\pi}{12} = \frac{42\pi}{12}$.$\frac{k\pi}{12}$ के साथ तुलना करने पर,$k = 42$ प्राप्त होता है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

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