मान लीजिए कि f,[0, 1] पर एक वास्तविक मान वाला | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$.समाकलन का विस्तार करने पर: $f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$.मान

Vedclass · Accepted Answer

$(6, 8)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $f(x) = x + \int_{0}^{1} (x - t) f(t) dt$.समाकलन का विस्तार करने पर: $f(x) = x + x \int_{0}^{1} f(t) dt - \int_{0}^{1} t f(t) dt$.मान लीजिए $A = \int_{0}^{1} f(t) dt$ और $B = \int_{0}^{1} t f(t) dt$.तब $f(x) = (1 + A)x - B$. मान लीजिए $C = 1 + A$,तो $f(x) = Cx - B$.अब,$A = \int_{0}^{1} (Ct - B) dt = [C \frac{t^2}{2} - Bt]_{0}^{1} = \frac{C}{2} - B$.चूंकि $C = 1 + A$,हमारे पास $A = \frac{1+A}{2} - B \Rightarrow 2A = 1 + A - 2B \Rightarrow A = 1 - 2B$ है।साथ ही,$B = \int_{0}^{1} t(Ct - B) dt = \int_{0}^{1} (Ct^2 - Bt) dt = [C \frac{t^3}{3} - B \frac{t^2}{2}]_{0}^{1} = \frac{C}{3} - \frac{B}{2}$.$C = 1 + A = 1 + (1 - 2B) = 2 - 2B$ प्रतिस्थापित करने पर:$B = \frac{2 - 2B}{3} - \frac{B}{2} \Rightarrow B = \frac{2}{3} - \frac{2B}{3} - \frac{B}{2} = \frac{2}{3} - \frac{7B}{6}$.$B + \frac{7B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{13B}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow B = \frac{4}{13}$.तब $A = 1 - 2(\frac{4}{13}) = 1 - \frac{8}{13} = \frac{5}{13}$.$C = 1 + A = 1 + \frac{5}{13} = \frac{18}{13}$.अतः,$f(x) = \frac{18}{13}x - \frac{4}{13}$.बिंदु $(6, 8)$ की जाँच करने पर: $f(6) = \frac{18}{13}(6) - \frac{4}{13} = \frac{108 - 4}{13} = \frac{104}{13} = 8$.इसलिए,बिंदु $(6, 8)$ वक्र पर स्थित है।

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

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यदि $f(x) = A \sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'(1/2) = \sqrt{2}$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{2A}{\pi}$ है,तो स्थिरांक $A$ और $B$ क्रमशः ज्ञात कीजिए।

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

मान लीजिए $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ और $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ है,तो:

मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. तो $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ किसमें हैं?

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