मान लीजिए u = int_0^1 frac{ln(x + 1)}{x^2 + 1 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तो $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; ज

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$4u + v = 0$

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(B) दिया गया है $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. मान लीजिए $x = 	an 	heta$,तो $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$; जब $x=1, 	heta=\frac{\pi}{4}$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an 	heta) \, d	heta$.गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an(\frac{\pi}{4} - 	heta)) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\frac{2}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \, d	heta = \frac{\pi}{4} \ln 2 - u$.$2u = \frac{\pi}{4} \ln 2 \implies u = \frac{\pi}{8} \ln 2$.अब,$v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$. मान लीजिए $2x = t$,तो $dx = \frac{1}{2} dt$. जब $x=0, t=0$; जब $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.$v = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt$.मानक परिणाम $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ का उपयोग करने पर,हमें $v = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ प्राप्त होता है।$u$ और $v$ की तुलना करने पर: $4u = 4(\frac{\pi}{8} \ln 2) = \frac{\pi}{2} \ln 2 = -v$.अतः,$4u + v = 0$.

मान लीजिए $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ और $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ है,तो:

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यदि $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,तो

मान लीजिए $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$ है। यदि सभी $n \geq 1$ के लिए $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ है, तो

मान लीजिए ${I_1} = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{1 + x}}} \,dx$ और ${I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{e^{{x^3}}}\left( {2 - {x^3}} \right)}}} \,dx$ है,तो $\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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