ધારો કે u = int_0^1 frac{ln(x + 1)}{x^2 + 1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. ધારો કે $x = 	an 	heta$,તો $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્ય

Vedclass · Accepted Answer

$4u + v = 0$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$. ધારો કે $x = 	an 	heta$,તો $dx = \sec^2 	heta \, d	heta$. જ્યારે $x=0, 	heta=0$; જ્યારે $x=1, 	heta=\frac{\pi}{4}$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an 	heta) \, d	heta$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + 	an(\frac{\pi}{4} - 	heta)) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + \frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(\frac{2}{1 + 	an 	heta}) \, d	heta$.$u = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1 + 	an 	heta)) \, d	heta = \frac{\pi}{4} \ln 2 - u$.$2u = \frac{\pi}{4} \ln 2 \implies u = \frac{\pi}{8} \ln 2$.હવે,$v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$. ધારો કે $2x = t$,તો $dx = \frac{1}{2} dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$.$v = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln(\sin t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt$.પ્રમાણિત પરિણામ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin t) \, dt = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = -\frac{\pi}{2} \ln 2$ મળે છે.$u$ અને $v$ ની સરખામણી કરતા: $4u = 4(\frac{\pi}{8} \ln 2) = \frac{\pi}{2} \ln 2 = -v$.તેથી,$4u + v = 0$.

ધારો કે $u = \int_0^1 \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx$ અને $v = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin 2x) \, dx$ હોય,તો:

Similar Questions

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ ની કિંમતથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . છે.

જો $f(x) = \text{Max}\{\sin x, \cos x\}$ અને $g(x) = \text{Min}\{\sin x, \cos x\}$ હોય,તો $\int_{0}^{\pi} f(x) dx + \int_{0}^{\pi} g(x) dx = $

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય, તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module