$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ ની કિંમતથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . છે.

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{જો } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{જો } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. ધારો કે $\alpha$ એ અંતરાલ $(1, 8]$ માં સમીકરણ $g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ છે. તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

$\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{(1 - x)}^2}}}} $ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {(t^2 + 2t + 2)dt}$ જ્યાં $x$ એ અસમતા $\log_{\sqrt{2}}(1 + \sqrt{6x - x^2 - 8}) \ge 0$ નું સમાધાન કરતી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો $f(x)$ નો વિસ્તાર $[a, b]$ હોય,તો $(a + b)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\begin{cases} [x], & x \leq 2 \\ 0, & x>2 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. જો $I=\int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ હોય,તો $(4I-1)$ ની કિંમત શોધો.