ધારો કે f: R rightarrow R એ f(x)=begin{cases} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} [x], & x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases}$.આપણે $I = \int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} [x], & x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases}$.આપણે $I = \int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.$x \in [-1, 2]$ માટે,$x^2 \in [0, 4]$.જો $x^2 \leq 2$,તો $f(x^2) = [x^2]$. જો $x^2 > 2$,તો $f(x^2) = 0$.$x^2 \leq 2 \implies x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.સંકલન $-1$ થી $2$ હોવાથી,આપણે તેને વિભાજિત કરીએ:$x \in [-1, \sqrt{2}]$ માટે,$f(x^2) = [x^2]$. $x \in (\sqrt{2}, 2]$ માટે,$f(x^2) = 0$.વળી,$f(x+1) = [x+1]$ જ્યારે $x \leq 1$,અને $f(x+1) = 0$ જ્યારે $x > 1$.આમ,$I = \int_{-1}^1 \frac{x [x^2]}{2+[x+1]} dx + \int_1^{\sqrt{2}} \frac{x [x^2]}{2+0} dx + \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{x \cdot 0}{2+0} dx$.$x \in [-1, 0)$ માટે,$[x^2] = 0$,તેથી પ્રથમ ભાગ $\int_{-1}^0 0 dx = 0$ છે.$x \in [0, 1)$ માટે,$[x^2] = 0$,તેથી $\int_0^1 0 dx = 0$.$x \in [1, \sqrt{2}]$ માટે,$[x^2] = 1$,તેથી $\int_1^{\sqrt{2}} \frac{x \cdot 1}{2} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_1^{\sqrt{2}} = \frac{1}{4} (2-1) = \frac{1}{4}$.આમ $I = \frac{1}{4}$.તેથી $4I - 1 = 4(\frac{1}{4}) - 1 = 0$.

Similar Questions

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $x$ એ સમીકરણ $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (જ્યાં $\alpha > 0$),તો $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $4 \int_0^{3/2} f(x) dx + 125 \int_0^{3/2} \frac{dx}{\sqrt{f(x)+x^2}} = 108$ નું સમાધાન કરતા સતત વિધેયો $f : [0, \frac{3}{2}] \rightarrow (0, \infty)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ ની કિંમત .... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module