x in R setminus {0} માટે સમીકરણ 6 int_{0}^{|x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $u = |x|$. $x \in R \setminus \{0\}$ હોવાથી,$u > 0$ મળે. સમીકરણ $6 \int_{0}^{u} (t^2-1) \ln t \ dt = 5u$ છે.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $u = |x|$. $x \in R \setminus \{0\}$ હોવાથી,$u > 0$ મળે. સમીકરણ $6 \int_{0}^{u} (t^2-1) \ln t \ dt = 5u$ છે.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int (t^2-1) \ln t \ dt = \ln t (\frac{t^3}{3} - t) - \int \frac{1}{t} (\frac{t^3}{3} - t) dt = \ln t (\frac{t^3}{3} - t) - (\frac{t^3}{9} - t) + C$.$0$ થી $u$ સુધીના નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા ($t 	o 0^+$ લક્ષ લેતા): $\lim_{t 	o 0^+} [\ln t (\frac{t^3}{3} - t) - \frac{t^3}{9} + t] = 0$.તેથી,$6 [\ln u (\frac{u^3}{3} - u) - \frac{u^3}{9} + u] = 5u$.$u$ વડે ભાગતા ($u > 0$ હોવાથી): $6 [\ln u (\frac{u^2}{3} - 1) - \frac{u^2}{9} + 1] = 5$.$2 \ln u (u^2 - 3) - \frac{2u^2}{3} + 6 = 5 \implies 2 \ln u (u^2 - 3) = \frac{2u^2}{3} - 1$.$\ln u = \frac{2u^2 - 3}{6(u^2 - 3)}$.$f(u) = \ln u$ અને $g(u) = \frac{2u^2 - 3}{6(u^2 - 3)}$ ના આલેખનું વિશ્લેષણ કરતા,$u > 0$ માટે બે છેદબિંદુઓ મળે છે. $u = |x|$ હોવાથી,$u$ ના દરેક ધન મૂલ્ય માટે $x$ ના બે મૂલ્યો મળે $(x = \pm u)$. આમ,કુલ $2 	imes 2 = 4$ ઉકેલો મળે.

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જો $b_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{2} nx}{\sin x} dx$,$n \in N$,હોય તો

જો $I = \sum_{k=1}^{98} \int_k^{k+1} \frac{k+1}{x(x+1)} dx$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય, તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module