$x \in R \setminus \{0\}$ के लिए समीकरण $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ के हलों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. तो $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ किसमें हैं?

फलन $f(x) = \int\limits_0^x \sqrt{1 - t^4} \, dt$ इस प्रकार है कि

मान लीजिए $\operatorname{Max} \limits _{0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\alpha$ और $\operatorname{Min} \limits _ {0 \leq x \leq 2}\left\{\frac{9-x^{2}}{5-x}\right\}=\beta$. यदि $\int\limits_{\beta-\frac{8}{3}}^{2 \alpha-1} \operatorname{Max}\left\{\frac{9- x ^{2}}{5- x }, x \right\} dx =\alpha_{1}+\alpha_{2} \log _{e}\left(\frac{8}{15}\right)$ है,तो $\alpha_{1}+\alpha_{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a, b, c$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$। तो द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के पास:

मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f'(x) = f(x)$ और $f(0) = 1$ को संतुष्ट करता है और $g(x)$ एक ऐसा फलन है जो $f(x) + g(x) = x^2$ को संतुष्ट करता है। समाकलन $\int_{0}^{1} f(x)g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।