मान लीजिए a, b, c शून्येतर वास्तविक संख्याएँ | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$ है।दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$ है।इसका अर्थ है $\int_0^2 f(x) \, d

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$(0, 2)$ में कम से कम एक मूल है

Vedclass · Answer

(B) मान लीजिए $f(x) = (ax^2 + bx + c)(1 + \cos^8 x)$ है।दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^2 f(x) \, dx$ है।इसका अर्थ है $\int_0^2 f(x) \, dx - \int_0^1 f(x) \, dx = 0$,जो सरल होकर $\int_1^2 f(x) \, dx = 0$ हो जाता है।चूंकि $f(x)$ एक सतत फलन है और अंतराल $(1, 2)$ पर इसका समाकलन शून्य है,इसलिए $f(x)$ को अंतराल $(1, 2)$ में अपना चिह्न बदलना होगा,जब तक कि सभी $x \in (1, 2)$ के लिए $f(x) = 0$ न हो।चूंकि $a, b, c$ शून्येतर हैं,$ax^2 + bx + c$ सर्वसम शून्य नहीं है। साथ ही,सभी $x$ के लिए $(1 + \cos^8 x) \ge 1 > 0$ है।अतः,$f(x)$ को $(1, 2)$ में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान लेने होंगे।इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$(1, 2)$ में कम से कम एक $x_0$ ऐसा मौजूद है कि $f(x_0) = 0$ हो।चूंकि $(1 + \cos^8 x) 
eq 0$,इसलिए $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$ होना चाहिए।अतः,द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(1, 2)$ में कम से कम एक मूल है,जो $(0, 2)$ में निहित है।

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