संख्याएँ P, Q और R जिनके लिए फलन f(x) = P{e^{ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$. सबसे पहले,$f(0) = P + Q = -1$. इसके बाद,$f'(x) = 2P{e^{2x}} + Q{e^x} + R$. शर्त $f'(\log 2) = 31$ के

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$P = 5, Q = -6, R = 3$

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(D) दिया गया है $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$. सबसे पहले,$f(0) = P + Q = -1$. इसके बाद,$f'(x) = 2P{e^{2x}} + Q{e^x} + R$. शर्त $f'(\log 2) = 31$ के अनुसार,$2P(e^{\log 2})^2 + Q(e^{\log 2}) + R = 31$,जो $8P + 2Q + R = 31$ में सरल हो जाता है। अब,समाकलन $\int_0^{\log 4} [f(x) - Rx] \, dx = \int_0^{\log 4} (P{e^{2x}} + Q{e^x}) \, dx = \frac{39}{2}$ पर विचार करें। समाकलन का मूल्यांकन: $[\frac{P}{2} e^{2x} + Q e^x]_0^{\log 4} = (\frac{P}{2} \cdot 16 + Q \cdot 4) - (\frac{P}{2} + Q) = 8P + 4Q - 0.5P - Q = 7.5P + 3Q = \frac{15P}{2} + 3Q = \frac{39}{2}$. इससे $15P + 6Q = 39$,या $5P + 2Q = 13$ प्राप्त होता है। समीकरण: $1) P + Q = -1 \implies Q = -1 - P$ $2) 5P + 2(-1 - P) = 13 \implies 3P - 2 = 13 \implies 3P = 15 \implies P = 5$. अतः $Q = -1 - 5 = -6$. अंत में,$8P + 2Q + R = 31$ में मान रखने पर: $8(5) + 2(-6) + R = 31 \implies 40 - 12 + R = 31 \implies 28 + R = 31 \implies R = 3$. इस प्रकार,$P = 5, Q = -6, R = 3$ प्राप्त होता है।

संख्याएँ $P, Q$ और $R$ जिनके लिए फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ शर्तों $f(0) = -1$,$f'(\log 2) = 31$ और $\int_0^{\log 4} [f(x) - Rx] \, dx = \frac{39}{2}$ को संतुष्ट करता है,वे हैं

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एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

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