मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} [x], & x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases}$.हमें $I = \int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ का मान ज्ञात करना

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(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} [x], & x \leq 2 \ 0, & x > 2 \end{cases}$.हमें $I = \int_{-1}^2 \frac{x f(x^2)}{2+f(x+1)} dx$ का मान ज्ञात करना है।$x \in [-1, 2]$ के लिए,$x^2 \in [0, 4]$.यदि $x^2 \leq 2$,तो $f(x^2) = [x^2]$. यदि $x^2 > 2$,तो $f(x^2) = 0$.$x^2 \leq 2 \implies x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.चूंकि समाकलन $-1$ से $2$ तक है,हम इसे विभाजित करते हैं:$x \in [-1, \sqrt{2}]$ के लिए,$f(x^2) = [x^2]$. $x \in (\sqrt{2}, 2]$ के लिए,$f(x^2) = 0$.साथ ही,$f(x+1) = [x+1]$ जब $x \leq 1$,और $f(x+1) = 0$ जब $x > 1$.अतः,$I = \int_{-1}^1 \frac{x [x^2]}{2+[x+1]} dx + \int_1^{\sqrt{2}} \frac{x [x^2]}{2+0} dx + \int_{\sqrt{2}}^2 \frac{x \cdot 0}{2+0} dx$.$x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x^2] = 0$,इसलिए पहला भाग $\int_{-1}^0 0 dx = 0$ है।$x \in [0, 1)$ के लिए,$[x^2] = 0$,इसलिए $\int_0^1 0 dx = 0$.$x \in [1, \sqrt{2}]$ के लिए,$[x^2] = 1$,इसलिए $\int_1^{\sqrt{2}} \frac{x \cdot 1}{2} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_1^{\sqrt{2}} = \frac{1}{4} (2-1) = \frac{1}{4}$.अतः $I = \frac{1}{4}$.इसलिए $4I - 1 = 4(\frac{1}{4}) - 1 = 0$.

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$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

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