જો x એ સમીકરણ left( int_{0}^{1} frac{dt}{t^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I_1 = \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt$. કારણ કે $f(t) = \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1}$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને અંતરાલ $[-3, 3]$

Vedclass · Accepted Answer

$\pm 2 \sqrt{\frac{\sin \alpha}{\alpha}}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I_1 = \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt$. કારણ કે $f(t) = \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1}$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને અંતરાલ $[-3, 3]$ એ $0$ ની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી $I_1 = 0$.ધારો કે $I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1}$. છેદને $(t + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha$ તરીકે લખી શકાય.તેથી,$I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dt}{(t + \cos \alpha)^2 + \sin^2 \alpha} = \left[ \frac{1}{\sin \alpha} 	an^{-1} \left( \frac{t + \cos \alpha}{\sin \alpha} ight) ight]_0^1$.$I_2 = \frac{1}{\sin \alpha} \left( 	an^{-1} \left( \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} ight) - 	an^{-1} \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ight) ight)$.અડધા ખૂણાના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot(\alpha/2) = 	an(\pi/2 - \alpha/2)$ અને $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha = 	an(\pi/2 - \alpha)$.તેથી,$I_2 = \frac{1}{\sin \alpha} (\pi/2 - \alpha/2 - (\pi/2 - \alpha)) = \frac{\alpha}{2 \sin \alpha}$.સમીકરણ $\left( \frac{\alpha}{2 \sin \alpha} ight) x^2 - 2 = 0$ બને છે.$x^2 = \frac{4 \sin \alpha}{\alpha} \Rightarrow x = \pm 2 \sqrt{\frac{\sin \alpha}{\alpha}}$.

જો $x$ એ સમીકરણ $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ નું સમાધાન કરતું હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x - \cos x}{1 + \sin x \cos x} dx$,$I_2 = \int_0^{2\pi} \cos^6 x dx$,$I_3 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^3 x dx$,અને $I_4 = \int_0^1 \ln \left( \frac{1}{x} - 1 \right) dx$. તો:

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ ની કિંમત .... છે.

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module