यदि $x$ समीकरण $\left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{t^2 + 2t \cos \alpha + 1} \right) x^2 - \left( \int_{-3}^{3} \frac{t^2 \sin 2t}{t^2 + 1} dt \right) x - 2 = 0$ $(0 < \alpha < \pi)$ को संतुष्ट करता है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यह दिया गया है कि प्रत्येक $a \in (0,1)$ के लिए,सीमा $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का अस्तित्व है। इसके अतिरिक्त,यह दिया गया है कि फलन $g(a)$ अंतराल $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक अवकलनीय फलन है जिसका अवकलज $f^{\prime}$ सतत है और $f(\pi)=-6$ है। यदि $F:[0, \pi] \rightarrow R$ को $F(x)=\int_0^{ x } f( t ) dt$ द्वारा परिभाषित किया गया है,और यदि $\int_0^\pi\left(f^{\prime}( x )+ F ( x )\right) \cos x dx =2$ है,तो $f(0)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक वास्तविक संख्या $y$ के लिए,$[y]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $y$ से कम या उसके बराबर है,तो समाकलन $\int_{\pi /2}^{3\pi /2} [2\sin x] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ का मान क्या है?

मान लीजिए $f^{\prime}(x)=\frac{192 x^3}{2+\sin ^4 \pi x}$ सभी $x \in R$ के लिए है,जहाँ $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ है। यदि $m \leq \int_{1 / 2}^1 f(x) d x \leq M$ है,तो $m$ और $M$ के संभावित मान क्या हैं?