सीमा lim _{n rightarrow infty} int _{0}^{1} x | vedclass

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Question

(A) माना $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x^{10}$ और $dv = \sin (n x) dx$ लें। तब $du = 10 x^9 dx$ और

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$0$

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(A) माना $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = x^{10}$ और $dv = \sin (n x) dx$ लें। तब $du = 10 x^9 dx$ और $v = -\frac{\cos (n x)}{n}$ प्राप्त होता है। $I_n = \left[ -\frac{x^{10} \cos (n x)}{n} \right]_{0}^{1} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$. $I_n = -\frac{\cos n}{n} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$. चूंकि $|\cos (n x)| \le 1$,इसलिए $\left| \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x \right| \le \int _{0}^{1} x^9 dx = \frac{1}{10}$. अतः,$|I_n| \le \left| -\frac{\cos n}{n} \right| + \frac{10}{n} \cdot \frac{1}{10} = \frac{|\cos n|}{n} + \frac{1}{n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}$. जैसे $n \rightarrow \infty$,वैसे $\frac{2}{n} \rightarrow 0$. स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} I_n = 0$.

सीमा $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ का मान क्या है?

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माना $u = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$ और $v = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 dx}{x^4 + 7x^2 + 1}$. तो:

मान लीजिए $I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx$. तो $\frac{1}{I_2 + I_4}, \frac{1}{I_3 + I_5}, \frac{1}{I_4 + I_6}, \dots$ किसमें हैं?

यदि $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान $....$ है।

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