લક્ષ lim _{n rightarrow infty} int _{0}^{1} x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^{10}$ અને $dv = \sin (n x) dx$ લો. તેથી $du = 10 x^9 dx$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$0$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I_n = \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = x^{10}$ અને $dv = \sin (n x) dx$ લો. તેથી $du = 10 x^9 dx$ અને $v = -\frac{\cos (n x)}{n}$ મળે. $I_n = \left[ -\frac{x^{10} \cos (n x)}{n} \right]_{0}^{1} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$. $I_n = -\frac{\cos n}{n} + \frac{10}{n} \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x$. કારણ કે $|\cos (n x)| \le 1$,તેથી $\left| \int _{0}^{1} x^9 \cos (n x) d x \right| \le \int _{0}^{1} x^9 dx = \frac{1}{10}$. તેથી,$|I_n| \le \left| -\frac{\cos n}{n} \right| + \frac{10}{n} \cdot \frac{1}{10} = \frac{|\cos n|}{n} + \frac{1}{n} \le \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}$. જેમ $n \rightarrow \infty$,તેમ $\frac{2}{n} \rightarrow 0$. સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} I_n = 0$.

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

નીચેનામાંથી કઈ અસમતાઓ $TRUE$ (સાચી) છે?
$(A)$ $\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \frac{3}{8}$
$(B)$ $\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \frac{3}{10}$
$(C)$ $\int_0^1 x^2 \cos x \, dx \geq \frac{1}{2}$
$(D)$ $\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \frac{2}{9}$

એક બહુપદી વિધેય $f(x)$ જે શરતો $f(x) = [f'(x)]^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ નું પાલન કરે છે,તે હોઈ શકે:

ધારો કે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ ની કિંમત શોધો.

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$\int_0^9 \sqrt{x} \,dx + \int_0^{\pi/2} (\cos x + \sin x) \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module