ધારો કે I_n = int_0^1 (log x)^n dx,જ્યાં n એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણને આપેલ છે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.ધારો કે $\log x = -t$,તેથી $x = e^{-t}$ અને $dx = -e^{-t} dt$.જ્યારે $x = 0, t 	o \infty$ અને જ્યારે

Vedclass · Accepted Answer

$I_{100} + 100 I_{99}$

Vedclass · Answer

(C) આપણને આપેલ છે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$.ધારો કે $\log x = -t$,તેથી $x = e^{-t}$ અને $dx = -e^{-t} dt$.જ્યારે $x = 0, t 	o \infty$ અને જ્યારે $x = 1, t = 0$.તેથી,$I_n = \int_{\infty}^0 (-t)^n (-e^{-t}) dt = (-1)^n \int_0^{\infty} t^n e^{-t} dt = (-1)^n \Gamma(n+1) = (-1)^n n!$.વૈકલ્પિક રીતે,$I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$I_n = [x(\log x)^n]_0^1 - \int_0^1 x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx = 0 - n \int_0^1 (\log x)^{n-1} dx = -n I_{n-1}$.આમ,$I_n + n I_{n-1} = 0$.$n = 2011$ માટે,આપણને મળે છે $I_{2011} + 2011 I_{2010} = 0$.વિકલ્પો તપાસતા,$I_{100} + 100 I_{99} = 0$ પણ સાચું છે.તેથી,$I_{2011} + 2011 I_{2010} = I_{100} + 100 I_{99} = 0$.

ધારો કે $I_n = \int_0^1 (\log x)^n dx$,જ્યાં $n$ એ અઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$I_{2011} + 2011 I_{2010}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે $f^{\prime}(x)=\frac{192 x^3}{2+\sin ^4 \pi x}$ બધા $x \in R$ માટે,જ્યાં $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ છે. જો $m \leq \int_{1 / 2}^1 f(x) d x \leq M$ હોય,તો $m$ અને $M$ ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?

જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module