यह दिया गया है कि प्रत्येक a in (0,1) के लिए, | vedclass

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Question

(C) $1.$ $g(a)$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का मूल्यांकन करते हैं।$a = \frac{1}{

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$(A, D)$

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(C) $1.$ $g(a)$ ज्ञात करने के लिए,हम समाकलन $g(a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का मूल्यांकन करते हैं।$a = \frac{1}{2}$ के लिए,$g\left(\frac{1}{2}ight) = \int_0^1 t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} dt = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$।प्रतिस्थापन $t = \sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर,$dt = 2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta$,समाकलन $\int_0^{\pi/2} \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{\sin 	heta \cos 	heta} d	heta = \int_0^{\pi/2} 2 d	heta = \pi$ हो जाता है।अतः,$g\left(\frac{1}{2}ight) = \pi$।$2.$ हम देखते हैं कि $g(1-a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-(1-a)}(1-t)^{(1-a)-1} dt = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{a-1}(1-t)^{-a} dt$।गुणधर्म $\int_n^{1-n} f(t) dt = \int_n^{1-n} f(1-t) dt$ का उपयोग करने पर,हमें $g(1-a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} (1-t)^{a-1} t^{-a} dt = g(a)$ प्राप्त होता है।चूंकि $g(1-a) = g(a)$,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $-g'(1-a) = g'(a)$ प्राप्त होता है।$a = \frac{1}{2}$ पर,$-g'\left(\frac{1}{2}ight) = g'\left(\frac{1}{2}ight)$,जिसका अर्थ है कि $2g'\left(\frac{1}{2}ight) = 0$,इसलिए $g'\left(\frac{1}{2}ight) = 0$।अतः,सही युग्म $(A, D)$ है।

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