int_{0}^{1/3} (sum_{r=0}^{101} {x + frac{r}{3 | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है।यहाँ $x \in [0, 1/3]$ के लिए,$\{x\} = x$,$\{x + 1/3\} = x + 1/3$,और $\{x + 2/3\} = x + 2/3$ होता है।

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$17$

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(B) हम जानते हैं कि $\{x\}$ भिन्नात्मक भाग फलन है।यहाँ $x \in [0, 1/3]$ के लिए,$\{x\} = x$,$\{x + 1/3\} = x + 1/3$,और $\{x + 2/3\} = x + 2/3$ होता है।अतः,$\sum_{r=0}^{2} \{x + \frac{r}{3}\} = x + (x + 1/3) + (x + 2/3) = 3x + 1$ होता है।कुल $102$ पद हैं ($r=0$ से $101$),जो $34$ समूह बनाते हैं।अतः,समाकलन $\int_{0}^{1/3} 34(3x + 1) dx$ होगा।$= 34 [\frac{3x^2}{2} + x]_{0}^{1/3} = 34 [\frac{3(1/9)}{2} + 1/3] = 34 [1/6 + 1/3] = 34 [1/2] = 17$.

$\int_{0}^{1/3} (\sum_{r=0}^{101} \{x + \frac{r}{3}\}) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $\{.\}$ भिन्नात्मक भाग फलन को दर्शाता है)।

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