प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए,मान लीजिए [ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) हमें समाकलन $I = \int_1^M \{x\}^{[x]} dx$ दिया गया है। चूँकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को इकाई अंतरालों पर समाकलनों के योग के

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(C) हमें समाकलन $I = \int_1^M \{x\}^{[x]} dx$ दिया गया है। चूँकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर स्थिर है,हम समाकलन को इकाई अंतरालों पर समाकलनों के योग के रूप में लिख सकते हैं: $I = \sum_{n=1}^{M-1} \int_n^{n+1} (x-n)^n dx$. मान लीजिए $u = x-n$,तो $du = dx$ होगा। समाकलन $\int_0^1 u^n du = \left[ \frac{u^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$ हो जाता है। अतः,$I = \sum_{n=1}^{M-1} \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{M}$। $M=2$ के लिए,$I = \frac{1}{2} = 0.5 $M=3$ के लिए,$I = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \approx 0.833 $M=4$ के लिए,$I = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6+4+3}{12} = \frac{13}{12} > 1$। इसलिए,सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $M$ का मान $4$ है।

Similar Questions

$\alpha$ के वे मान जो $\int_{\pi /2}^{\alpha} \sin x \, dx = \sin 2\alpha$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $\alpha \in [0, 2\pi]$,वे हैं:

यदि $\alpha \in (2, 3)$ है,तो समीकरण $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ के हलों की संख्या क्या है?

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

मान लीजिए $I_n = \int_0^1 e^{-y} y^n \, dy$,जहाँ $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है। तो,$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{I_n}{n!}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module