एक बहुपद फलन f(x) जो शर्तों f(x) = [f'(x)]^2 | vedclass

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Question

(D) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि $f(x) = [f'(x)]^2$,हमारे पास $ax^2 + bx + c = (2ax + b)^2 = 4a^2x^2 + 4abx + b^2$ है। गुणांकों की तुलना करने

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$(B)$ और $(C)$ दोनों

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(D) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूंकि $f(x) = [f'(x)]^2$,हमारे पास $ax^2 + bx + c = (2ax + b)^2 = 4a^2x^2 + 4abx + b^2$ है। गुणांकों की तुलना करने पर: $a = 4a^2 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$ ($a 
eq 0$ होने के कारण),$b = 4ab \Rightarrow b = 4(\frac{1}{4})b = b$ (हमेशा सत्य),और $c = b^2$। अतः $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + bx + b^2$। अब,$\int_{0}^{1} (\frac{1}{4}x^2 + bx + b^2) dx = [\frac{x^3}{12} + \frac{bx^2}{2} + b^2x]_{0}^{1} = \frac{1}{12} + \frac{b}{2} + b^2$। दिया गया है कि $\frac{1}{12} + \frac{b}{2} + b^2 = \frac{19}{12} \Rightarrow b^2 + \frac{b}{2} - \frac{18}{12} = 0 \Rightarrow b^2 + \frac{b}{2} - \frac{3}{2} = 0$। $2$ से गुणा करने पर: $2b^2 + b - 3 = 0 \Rightarrow (2b + 3)(b - 1) = 0$। इस प्रकार $b = 1$ या $b = -\frac{3}{2}$। यदि $b = 1$,तो $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 1$। यदि $b = -\frac{3}{2}$,तो $f(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + (-\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{4}$। दोनों विकल्प $(B)$ और $(C)$ शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

एक बहुपद फलन $f(x)$ जो शर्तों $f(x) = [f'(x)]^2$ और $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ को संतुष्ट करता है,हो सकता है:

Similar Questions

यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

$I(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$,जहाँ $m, n > 0$ है,तो $I(9, 14) + I(10, 13)$ का मान क्या होगा?

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