यदि $f(x)$ संबंध $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ को संतुष्ट करता है, तो $e + f(0)$ का मान . . . . . . है।

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

मान लीजिए $f(\alpha) = \int_{0}^{\alpha} x^{2} \left(1 - \frac{x}{\alpha}\right)^{\alpha} dx$ (जहाँ $\alpha > 0$),तो $\sum_{\alpha=1}^{5} \frac{f(\alpha)}{\alpha^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{2} ( |2x^2 - 3x| + [x - \frac{1}{2}] ) dx$,जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{यदि } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{यदि } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ को परिभाषित करें। मान लीजिए $\alpha$ अंतराल $(1, 8]$ में समीकरण $g(x) = 0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है और $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यह दिया गया है कि प्रत्येक $a \in (0,1)$ के लिए,सीमा $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ का अस्तित्व है। इसके अतिरिक्त,यह दिया गया है कि फलन $g(a)$ अंतराल $(0,1)$ पर अवकलनीय है।
$1.$ $g\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \pi$ $(B) 2\pi$ $(C) \frac{\pi}{2}$ $(D) \frac{\pi}{4}$
$2.$ $g'\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान है
$(A) \frac{\pi}{2}$ $(B) \pi$ $(C) -\frac{\pi}{2}$ $(D) 0$
$1$ और $2$ के लिए सही युग्म चुनें।