જો f(x) એ સંબંધ f(x) = e^{x} + int_{0}^{1} (y | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} yf(y) dy + xe^{x} \int_{0}^{1} f(y) dy$. ધારો કે $A = \int_{0}^{1} yf(y) dy$ અને $B = \int_{0}^{1} f(y) dy

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} yf(y) dy + xe^{x} \int_{0}^{1} f(y) dy$. ધારો કે $A = \int_{0}^{1} yf(y) dy$ અને $B = \int_{0}^{1} f(y) dy$. તેથી $f(x) = e^{x} + A + Bxe^{x}$. હવે, $B = \int_{0}^{1} (e^{y} + A + Bye^{y}) dy = [e^{y} + Ay + B(ye^{y} - e^{y})]_{0}^{1} = (e + A + 0) - (1 + 0 - B) = e + A - 1 + B$. આનાથી $A = 1 - e$ મળે છે. ત્યારબાદ, $A = \int_{0}^{1} y(e^{y} + A + Bye^{y}) dy = \int_{0}^{1} (ye^{y} + Ay + Bye^{y}) dy$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા, $\int ye^{y} dy = (y-1)e^{y}$. તેથી, $A = [(y-1)e^{y} + \frac{A}{2}y^{2} + B(y-1)e^{y}]_{0}^{1} = (0 + \frac{A}{2} + 0) - (-1 + 0 - B) = \frac{A}{2} + 1 + B$. $A = 1 - e$ મૂકતા, $1 - e = \frac{1-e}{2} + 1 + B$, જે $B = \frac{1-3e}{2}$ આપે છે. અંતે, $f(0) = e^{0} + A + B(0)e^{0} = 1 + A = 1 + (1 - e) = 2 - e$. તેથી, $e + f(0) = e + 2 - e = 2$.

જો $f(x)$ એ સંબંધ $f(x) = e^{x} + \int_{0}^{1} (y + xe^{x}) f(y) dy$ નું પાલન કરતું હોય, તો $e + f(0)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

Similar Questions

જો $\alpha \in (2, 3)$ હોય,તો સમીકરણ $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=a e^{2 x}+b e^x+c x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f(0)=-1$,$f^{\prime}(\log _e 2)=21$,અને $\int_0^{\log _e 4}(f(x)-c x) d x=\frac{39}{2}$ હોય,તો $|a+b+c|$ ની કિંમત શોધો:

સંખ્યાઓ $P, Q$ અને $R$ જેના માટે વિધેય $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ એ શરતો $f(0) = -1$,$f'(\log 2) = 31$ અને $\int_0^{\log 4} [f(x) - Rx] \, dx = \frac{39}{2}$ નું પાલન કરે છે,તે શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module