આપેલ છે કે દરેક a in (0,1) માટે,લક્ષ g(a) = l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $1.$ $g(a)$ શોધવા માટે,આપણે સંકલન $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.$a = \frac{1}{2}$ માટે,$

Vedclass · Accepted Answer

$(A, D)$

Vedclass · Answer

(C) $1.$ $g(a)$ શોધવા માટે,આપણે સંકલન $g(a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.$a = \frac{1}{2}$ માટે,$g\left(\frac{1}{2}ight) = \int_0^1 t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} dt = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$.આદેશ $t = \sin^2 	heta$ લેતા,$dt = 2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta$,સંકલન $\int_0^{\pi/2} \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{\sin 	heta \cos 	heta} d	heta = \int_0^{\pi/2} 2 d	heta = \pi$ બને છે.આમ,$g\left(\frac{1}{2}ight) = \pi$.$2.$ આપણે જોઈએ છીએ કે $g(1-a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-(1-a)}(1-t)^{(1-a)-1} dt = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{a-1}(1-t)^{-a} dt$.ગુણધર્મ $\int_n^{1-n} f(t) dt = \int_n^{1-n} f(1-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $g(1-a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} (1-t)^{a-1} t^{-a} dt = g(a)$ મળે છે.કારણ કે $g(1-a) = g(a)$,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $-g'(1-a) = g'(a)$ મળે છે.$a = \frac{1}{2}$ પર,$-g'\left(\frac{1}{2}ight) = g'\left(\frac{1}{2}ight)$,જેનો અર્થ છે કે $2g'\left(\frac{1}{2}ight) = 0$,તેથી $g'\left(\frac{1}{2}ight) = 0$.તેથી,સાચી જોડ $(A, D)$ છે.

Similar Questions

જો $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ અને $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ હોય,તો $I_1 : I_2$ શું થાય?

$x \in R \setminus \{0\}$ માટે સમીકરણ $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

ધારો કે $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} \tan^{-1} x \, dx$. જો તમામ $n \geq 1$ માટે $a_{n} I_{n+2} + b_{n} I_{n} = c_{n}$ હોય, તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module