જો I_n = int_{0}^{1} frac{dx}{(1 + x^2)^n}; n | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + x^2)^{-n}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x)

Vedclass · Accepted Answer

$(A)$ અને $(B)$ બંને

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = (1 + x^2)^{-n}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x) dx$ અને $v = x$ મળે.$I_n = [x(1 + x^2)^{-n}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (-2nx)(1 + x^2)^{-n-1} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{(1 + x^2) - 1}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n [I_n - I_{n+1}]$$2n I_{n+1} = \frac{1}{2^n} + (2n - 1) I_n$. આ વિધાન $(A)$ સાબિત કરે છે.$n=1$ માટે,$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = [	an^{-1} x]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$.$n=1$ માટે રિડક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2(1) I_2 = \frac{1}{2^1} + (2(1) - 1) I_1 \implies 2 I_2 = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \implies I_2 = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$. આ વિધાન $(B)$ સાબિત કરે છે.આમ,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

જો $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,હોય તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

Similar Questions

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 8x \cot x \, dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \sin x}}} \right)dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો $I_{n} = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cot^{n} x \, dx$ હોય,તો:

$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module