જો $n(2n+1) \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n} dx = 1177 \int_{0}^{1}(1-x^n)^{2n+1} dx$ હોય,તો $n \in N$ ની કિંમત $\dots\dots$ છે.

યાદી $I$	યાદી $II$
$P.$ $f(0)=0$ અને $\int_0^1 f(x) dx=1$ નું પાલન કરતા,$\leq 2$ ઘાતવાળા અ-ઋણ પૂર્ણાંક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદીઓ $f(x)$ ની સંખ્યા છે	$1.$ $8$
$Q.$ અંતરાલ $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા જ્યાં $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ બરાબર છે	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ બરાબર છે	$4.$ $0$

કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$

એક બહુપદી વિધેય $f(x)$ જે શરતો $f(x) = [f'(x)]^2$ અને $\int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{19}{12}$ નું પાલન કરે છે,તે હોઈ શકે:

જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

સ્તંભ $I$ માં આપેલા સંકલિતોને સ્તંભ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A) \int_{-1}^1 \frac{dx}{1+x^2}$	$(p) \frac{1}{2} \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(B) \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$	$(q) 2 \log \left(\frac{2}{3}\right)$
$(C) \int_2^3 \frac{dx}{1-x^2}$	$(r) \frac{\pi}{3}$
$(D) \int_1^2 \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1}}$	$(s) \frac{\pi}{2}$

ધારો કે $f(x)=(1-x)^2 \sin ^2 x+x^2$ બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે અને $g(x)=\int_1^x \left(\frac{2(t-1)}{t+1}-\ln t\right) f(t) dt$ બધા $x \in (1, \infty)$ માટે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$(B)$ $g$ એ $(1, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(C)$ $g$ એ $(1,2)$ પર વધતું અને $(2, \infty)$ પર ઘટતું વિધેય છે
$(D)$ $g$ એ $(1,2)$ પર ઘટતું અને $(2, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે
$2.$ વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$P$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x)+2x=2(1+x^2)$
$Q$ : એવો કોઈ $x \in \mathbb{R}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $2f(x)+1=2x(1+x)$
તો
$(A)$ $P$ અને $Q$ બંને સાચા છે
$(B)$ $P$ સાચું છે અને $Q$ ખોટું છે
$(C)$ $P$ ખોટું છે અને $Q$ સાચું છે
$(D)$ $P$ અને $Q$ બંને ખોટા છે
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે જવાબ આપો.