यदि I_n = int_{0}^{1} frac{dx}{(1 + x^2)^n}; | vedclass

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Question

(D) माना $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$ है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 + x^2)^{-n}$ और $dv = dx$ लें। तब $d

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$(A)$ और $(B)$ दोनों

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(D) माना $I_n = \int_{0}^{1} (1 + x^2)^{-n} dx$ है। खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1 + x^2)^{-n}$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -n(1 + x^2)^{-n-1} (2x) dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।$I_n = [x(1 + x^2)^{-n}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot (-2nx)(1 + x^2)^{-n-1} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n \int_{0}^{1} \frac{(1 + x^2) - 1}{(1 + x^2)^{n+1}} dx$$I_n = \frac{1}{2^n} + 2n [I_n - I_{n+1}]$$2n I_{n+1} = \frac{1}{2^n} + (2n - 1) I_n$। यह कथन $(A)$ की पुष्टि करता है।$n=1$ के लिए,$I_1 = \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^2} = [	an^{-1} x]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}$।$n=1$ के लिए रिडक्शन फॉर्मूला का उपयोग करने पर: $2(1) I_2 = \frac{1}{2^1} + (2(1) - 1) I_1 \implies 2 I_2 = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \implies I_2 = \frac{1}{4} + \frac{\pi}{8}$। यह कथन $(B)$ की पुष्टि करता है।अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

यदि $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

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