मान लीजिए $P(a, b)$ परवलय $y^2 = 8x$ पर एक बिंदु है,इस प्रकार कि $P$ पर स्पर्शरेखा वृत्त $x^2 + y^2 - 10x - 14y + 65 = 0$ के केंद्र से होकर गुजरती है। मान लीजिए $A$,$a$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल है और $B$,$b$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल है। तो $A + B$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $S$,$xy$-समतल में $x^2+y^2=4$ समीकरण द्वारा परिभाषित वृत्त है।
$(1)$ मान लीजिए $E_1, E_2$ और $F_1, F_2$ वृत्त $S$ की जीवाएँ हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के समानांतर हैं। मान लीजिए $G_1, G_2$ वृत्त $S$ की जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसका ढाल $-1$ है। मान लीजिए $E_1$ और $E_2$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखाएँ $E_3$ पर मिलती हैं,$F_1$ और $F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $F_3$ पर मिलती हैं,और $G_1$ और $G_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $G_3$ पर मिलती हैं। तो,बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ किस वक्र पर स्थित हैं?
$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $xy=4$
$(2)$ मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ पर एक बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं। मान लीजिए $P$ पर वृत्त $S$ की स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $M$ और $N$ बिंदुओं पर काटती है। तो,रेखाखंड $MN$ का मध्य-बिंदु किस वक्र पर स्थित होना चाहिए?
$(A)$ $(x+y)^2=3xy$ $(B)$ $x^{2/3}+y^{2/3}=2^{4/3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2xy$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2y^2$

माना रेखा $x-y+1=0$ वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। यदि $AB$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ का व्यास है,तो $g+f=$

वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ की उन जीवाओं के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या होगा जो इसकी परिधि पर $\frac{\pi}{3}$ रेडियन का कोण बनाती हैं?

वृत्त $C_1: x^2+y^2=3$,जिसका केंद्र $O$ है,परवलय $x^2=2y$ को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करता है। मान लीजिए कि $P$ पर वृत्त $C_1$ की स्पर्श रेखा अन्य दो वृत्तों $C_2$ और $C_3$ को क्रमशः $R_2$ और $R_3$ पर स्पर्श करती है। मान लीजिए कि $C_2$ और $C_3$ की त्रिज्याएँ समान $2\sqrt{3}$ हैं और केंद्र क्रमशः $Q_2$ और $Q_3$ हैं। यदि $Q_2$ और $Q_3$ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,तो:
$(A)$ $Q_2Q_3=12$
$(B)$ $R_2R_3=4\sqrt{6}$
$(C)$ त्रिभुज $OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $6\sqrt{2}$ है
$(D)$ त्रिभुज $PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{2}$ है

मान लीजिए $r$ उस वृत्त की त्रिज्या है,जो $x$-अक्ष को बिंदु $(a, 0)$ पर स्पर्श करता है,जहाँ $a < 0$,और परवलय $y^2 = 9x$ को बिंदु $(4, 6)$ पर स्पर्श करता है। तो $r$ का मान . . . . . . है।