ધારો કે $A(1, 1)$,$B(-4, 3)$,અને $C(-2, -5)$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે. ધારો કે $P$ એ બાજુ $BC$ પરનું એક બિંદુ છે,અને $\Delta_{1}$ અને $\Delta_{2}$ એ અનુક્રમે ત્રિકોણ $APB$ અને $ABC$ ના ક્ષેત્રફળ છે. જો $\Delta_{1} : \Delta_{2} = 4 : 7$ હોય,તો રેખાઓ $AP$,$AC$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

એક ત્રિકોણની પરિમિતિ $16 \text{ cm}$ છે, તેની એક બાજુની લંબાઈ $6 \text{ cm}$ છે. જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $12 \text{ cm}^2$ હોય, તો તે ત્રિકોણ કેવો છે?

ધારો કે એક બિંદુ $A$ સમાંતર રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ની વચ્ચે એવી રીતે આવેલું છે કે $L_1$ અને $L_2$ થી તેનું અંતર અનુક્રમે $6$ અને $3$ એકમ છે. તો સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો, જ્યાં બિંદુઓ $B$ અને $C$ અનુક્રમે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પર આવેલા છે.

ધારો કે $m_{1}, m_{2}$ એ $a$ બાજુવાળા ચોરસની બે પાસપાસેની બાજુઓના ઢાળ છે,જેથી $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})=220$ થાય. જો ચોરસનો એક શિરોબિંદુ $(10(\cos \alpha-\sin \alpha), 10(\sin \alpha+\cos \alpha))$ હોય,જ્યાં $\alpha \in(0, \frac{\pi}{2})$ અને એક વિકર્ણનું સમીકરણ $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y =10$ હોય,તો $72(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha)+a^{2}-3 a+13$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$,$(at_2t_3, a(t_2 + t_3))$,અને $(at_3t_1, a(t_3 + t_1))$ છે,તો તેના લંબકેન્દ્રના યામ શોધો.

એક ચોરસની એક બાજુ ધન $x-$અક્ષ સાથે લઘુકોણ $\alpha$ બનાવે છે,અને તેનો એક અંત્યબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે. જો ચોરસના બાકીના ત્રણ શિરોબિંદુઓ $x-$અક્ષની ઉપર આવેલા હોય અને ચોરસની બાજુનું માપ $4$ હોય,તો ચોરસના જે વિકર્ણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી તેનું સમીકરણ શોધો.