मान लीजिए S उन सभी 3 times 3 आव्यूहों का समुच | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।$A^{T}A$ के विकर्ण अवयवों का योग $A^{T}A$ का ट्रेस है,जिसे $\

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$5376$

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(A) मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $3 	imes 3$ आव्यूह है जहाँ $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$ है।$A^{T}A$ के विकर्ण अवयवों का योग $A^{T}A$ का ट्रेस है,जिसे $\operatorname{Tr}(A^{T}A)$ के रूप में दर्शाया जाता है।हम जानते हैं कि $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2}$ होता है।दिया गया है कि $\operatorname{Tr}(A^{T}A) = 6$,इसलिए $\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} a_{ij}^{2} = 6$ है।चूँकि $a_{ij} \in \{-1, 0, 1\}$,इसलिए $a_{ij}^{2}$ केवल $0$ या $1$ हो सकता है।ऐसे नौ वर्गों का योग $6$ होने के लिए,ठीक $6$ अवयव $\pm 1$ होने चाहिए और $3$ अवयव $0$ होने चाहिए।सबसे पहले,हम $9$ में से $3$ स्थानों को $0$ के रूप में चुनते हैं,जिसे $\binom{9}{3}$ तरीकों से किया जा सकता है।शेष $6$ स्थानों के लिए,प्रत्येक $1$ या $-1$ हो सकता है,जो $2^{6}$ संभावनाएँ देता है।अतः,ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $\binom{9}{3} 	imes 2^{6} = 84 	imes 64 = 5376$ है।

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