मान लीजिए S उन सभी a in mathbb{R} का समुच्चय | vedclass

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Question

(B) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$।दिया गय

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$\phi$

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(B) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$।दिया गया है $\vec{u} = a(\log_{e} b) \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{v} = (\log_{e} b) \hat{i} + 2 \hat{j} + 2a(\log_{e} b) \hat{k}$।अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{u} \cdot \vec{v} = a(\log_{e} b)^2 - 12 + 6a(\log_{e} b) > 0$।मान लीजिए $t = \log_{e} b$। चूंकि $b > 1$,इसलिए $t > 0$ है।असमिका $at^2 + 6at - 12 > 0$ बन जाती है,सभी $t > 0$ के लिए।यदि $a \le 0$ है,तो बड़े $t$ के लिए $at^2 + 6at - 12$ ऋणात्मक होगा,इसलिए $a$ धनात्मक होना चाहिए।द्विघात समीकरण $f(t) = at^2 + 6at - 12$ के सभी $t > 0$ के लिए धनात्मक होने के लिए,इसका शीर्ष $t = -\frac{6a}{2a} = -3$ पर होना चाहिए। चूंकि शीर्ष $t = -3$ पर है (जो $t > 0$ के डोमेन के बाहर है) और परवलय ऊपर की ओर खुलता है $(a > 0)$,इसलिए $t > 0$ के लिए न्यूनतम मान $t 	o 0^+$ के रूप में प्राप्त होता है।जैसे $t 	o 0^+$,$f(t) 	o -12$,जो $0$ से बड़ा नहीं है।अतः,$a$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो सभी $t > 0$ के लिए शर्त को पूरा करे।इसलिए,$S = \phi$।

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