ધારો કે z = a + ib, b neq 0 એ એક સંકર સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે $z^{2} = \overline{z} \cdot 2^{1-|z|}$. બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z|^{2} = |\overline{z}| \cdot 2^{1-|z|}$.$|\overline{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z|^{2} = |z| \cdot 2^{1-|z|}$.$b 
eq 0$ હોવાથી,$z 
eq 0$,તેથી $|z| = 2^{1-|z|}$.નિરીક્ષણ દ્વારા,$|z| = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે $(1 = 2^{1-1} = 2^{0} = 1)$.મૂળ સમીકરણમાં $|z| = 1$ મૂકતા,$z^{2} = \overline{z}$.$z$ વડે ગુણતા,$z^{3} = z\overline{z} = |z|^{2} = 1$.આમ,$z$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,એટલે કે $z = \omega$ અથવા $z = \omega^{2}$,જ્યાં $\omega = e^{i2\pi/3}$.આપણે $n \in N$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે જેથી $z^{n} = (z + 1)^{n}$ થાય.$1 + \omega = -\omega^{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $\omega^{n} = (-\omega^{2})^{n} = (-1)^{n} \omega^{2n}$ બને છે.આનો અર્થ એ છે કે $1 = (-1)^{n} \omega^{n}$,અથવા $\omega^{n} = (-1)^{n}$.જો $n = 3$ હોય,તો $\omega^{3} = 1$ અને $(-1)^{3} = -1$ (સમાન નથી).જો $n = 6$ હોય,તો $\omega^{6} = 1$ અને $(-1)^{6} = 1$. આમ,$n = 6$ એ ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

Similar Questions

$z_1$ અને $z_2$ બે સંકર સંખ્યાઓ છે જેથી $|z_1 + z_2| = 1$ અને $|z_1^2 + z_2^2| = 25$ થાય,તો $|z_1^3 + z_2^3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$\cos (x + iy)$ ની કિંમત શું થાય?

જો $(x + iy)^{1/3} = a + ib$ હોય,તો $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module