मान लीजिए $P (-2,-1,1)$ और $Q \left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)$ समचतुर्भुज $PRQS$ के शीर्ष हैं। यदि विकर्ण $RS$ के दिक्-अनुपात $\alpha, -1, \beta$ हैं,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ दोनों न्यूनतम निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक हैं,तो $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान $.....$ है।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ निम्नलिखित सीधी रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ और $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
मान लीजिए सीधी रेखा $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $L_1$ और $L_2$ हैं,और यह $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

समतलों $x + y + z = 1$ और $2x + 3y + z - 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाला और $y$-अक्ष के समानांतर समतल किस बिंदु से भी गुजरता है?

यदि रेखाओं $r = \hat{i} - 6\hat{j} + (p \sec \alpha) \hat{k} + t(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ और $r = 4\hat{j} + \hat{k} + \lambda(2\hat{i} + (p \tan \alpha) \hat{j} + 2\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $8\hat{i} + 8\hat{j} + 9\hat{k}$ है, (जहाँ $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), तो $p =$

मान लीजिए कि उस समतल का समीकरण,जो बिंदु $(1,4,-3)$ से होकर गुजरता है और समतलों $3x-2y+4z-7=0$ और $x+5y-2z+9=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा को समाहित करता है,$\alpha x+\beta y+\gamma z+3=0$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए:

बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\hat{i}+2 \hat{j}$ और $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं। यदि बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः समतल $x+y+z=3$ पर $A$ और $B$ के लंबकोणीय प्रक्षेप हैं, तो $P Q=$