मान लीजिए n geq 3 और C_1, C_2, ldots, C_n क्र | vedclass

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Question

(D) $X$-अक्ष और रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ के बीच का कोण $2 	heta$ मानिए। रेखा की ढाल $m = 	an(2 	heta) = 2 \sqrt{2}$ है।$	an(2 	heta) = \frac{2

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$2+\sqrt{3}$ सार्व अनुपात वाली एक गुणोत्तर श्रेणी में

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(D) $X$-अक्ष और रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ के बीच का कोण $2 	heta$ मानिए। रेखा की ढाल $m = 	an(2 	heta) = 2 \sqrt{2}$ है।$	an(2 	heta) = \frac{2 	an 	heta}{1-	an^2 	heta}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{2 	an 	heta}{1-	an^2 	heta} = 2 \sqrt{2}$,जो सरल होकर $\sqrt{2} 	an^2 	heta + 	an 	heta - \sqrt{2} = 0$ हो जाता है।$	an 	heta$ के लिए हल करने पर,$(\sqrt{2} 	an 	heta - 1)(	an 	heta + \sqrt{2}) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $	heta$ न्यूनकोण है,$	an 	heta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.अतः $\sin 	heta = \frac{1}{\sqrt{3}}$.मान लीजिए $P$ दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $r_i$ त्रिज्या और $O_i$ केंद्र वाले किसी भी वृत्त $C_i$ के लिए,$P$ से $O_i$ की दूरी $d_i = \frac{r_i}{\sin 	heta} = \sqrt{3} r_i$ है।चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों $O_i$ और $O_{i+1}$ के बीच की दूरी $r_i + r_{i+1}$ है। साथ ही,$d_{i+1} = d_i + r_i + r_{i+1}$।$d_i = \sqrt{3} r_i$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{3} r_{i+1} = \sqrt{3} r_i + r_i + r_{i+1}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $r_{i+1}(\sqrt{3}-1) = r_i(\sqrt{3}+1)$ हो जाता है।इस प्रकार,$\frac{r_{i+1}}{r_i} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1} = \frac{4+2 \sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$।अतः,त्रिज्याएँ $2+\sqrt{3}$ सार्व अनुपात वाली एक गुणोत्तर श्रेणी बनाती हैं।

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वृत्तों $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ और $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या है:

$x^{2}+y^{2}-6x-8y+9=0$ और $x^{2}+y^{2}=1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं (common tangents) की कुल संख्या है

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