मान लीजिए f: mathbb{R} rightarrow mathbb{R} ए | vedclass

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Question

(C) $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) f(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (1/x)}{1/x} \cdot f(x) = 1 \cdot M =

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$\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(e^{-x}\right) f(x)=M$

Vedclass · Answer

(C) $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(\frac{1}{x}\right) f(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin (1/x)}{1/x} \cdot f(x) = 1 \cdot M = M$। यह सत्य है।$(B)$ चूँकि $\sin(x)$ एक सतत फलन है,$\lim _{x \rightarrow \infty} \sin(f(x)) = \sin(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)) = \sin M$। यह सत्य है।$(C)$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \left(e^{-x}\right) f(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} (x e^{-x}) \cdot \frac{\sin (e^{-x})}{e^{-x}} \cdot f(x)$। चूँकि $\lim _{x \rightarrow \infty} x e^{-x} = 0$,सीमा $0 \cdot 1 \cdot M = 0$ है। अतः,यह कथन कि सीमा $M$ है,गलत है।$(D)$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} f(x) = (\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}) \cdot (\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)) = 0 \cdot M = 0$। यह सत्य है।

मान लीजिए $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है ताकि $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=M > 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

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