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Question

(B) दिया गया है कि $f(x) = [x]$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।हमें $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ प

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(B) दिया गया है कि $f(x) = [x]$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।हमें $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर अचर है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:$I = \int_{2}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{8} f(x) \, dx$.$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $2$ है।$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।$x \in [4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $2$ है।$x \in [5, 6)$ के लिए,$[x] = 5$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $5$ है।$x \in [6, 7)$ के लिए,$[x] = 6$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।$x \in [7, 8)$ के लिए,$[x] = 7$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $7$ है।अतः,$I = \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{5} 2 \, dx + \int_{5}^{6} 5 \, dx + \int_{6}^{7} 3 \, dx + \int_{7}^{8} 7 \, dx$.$I = 2(1) + 3(1) + 2(1) + 5(1) + 3(1) + 7(1) = 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 7 = 22$.

माना $f:(2, \infty) \rightarrow \mathbb{N}$,$f(x) = [x]$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड द्वारा परिभाषित है। तो,$\int_{2}^{8} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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